Généralités

Définition  

Soit `(u_n)` une suite   et  \(\ell\) un réel.
On dit que `(u_n)` tend vers  \(\ell\) quand  `n` tend vers \(+\infty\) , et on écrit  \(\boxed{\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=\ell}\) , si tout intervalle ouvert contenant \(\ell\)  contient toutes les valeurs de  `u_n` à partir d'un certain rang.

Traduction à l'aide de quantificateurs : \(\forall \varepsilon>0,\text{ } \exists n_0 \in \mathbb{N} \text{ tel que } \forall n \geqslant n_0,\text{ }\left|u_n-\ell\right|\leqslant \varepsilon.\)

Propriété (admise)

Soit une suite `(u_n)` qui tend vers un réel  \(\ell\) . On admet que la limite de  `(u_n)` est unique.

Exemples

1. \(\lim\limits_{n \to +\infty}\displaystyle\frac{1}{n}=0\)  et plus généralement, pour tout \(p \in \mathbb{N}^*\) , \(\lim\limits_{n \to +\infty}\displaystyle\frac{1}{n^p}=0\)
2. \(\lim\limits_{n \to +\infty}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}=0\)
3. \(\lim\limits_{n \to +\infty}\displaystyle\frac{1}{\text{e}^n}=0\)
4. Cas des suites constantes : pour tout réel `c` , \(\lim\limits_{n \to +\infty}c=c\)

Définitions

• Soit une suite   `(u_n)` qui tend vers un réel \(\ell\) . On dit que la suite `(u_n)` converge vers \(\ell\) .
  
• Une suite non convergente est dite divergente.